勾股定理如何证明-

证法一：?

这是最简单精妙的证明方法之一，几乎不用文字解释 ，可以说是无字证明
。如图所示
，左边是4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。

图形变换后面积没有变化，左边大正方形的边长是直角三角形的斜边c ，面积是c2；右边图形可分割为两个正方形
，它们的边长分别为直角三角形的两条直角边a和b，面积就是a2＋b2 ，于是a2＋b2＝c2 。

图中左边的“弦图”最早出现在公元222年的中国数学家赵爽所著《勾股方圆图注》
，赵爽是我国数学史上证明勾股定理的第一人
。2002年8月，在北京召开的国际数学家大会 ，标志着中国数学进入崭新的时代
，大会会徽就是这个“弦图 ”，寓意中国古代数学取得的重要成果。

证法二：?

这一解法应该是来历最有趣的证明方法之一 ，是由美国第20任总统茄菲尔德（JamesA.Garfield，1831～1881）用下图证明出的 。

这位总统并不是一位数学家
，他甚至都不曾学习过数学
。他只是非正式地自学过几何知识，很喜欢摆弄基础图形 ，当他还是众议院议员时
，想出了这个精巧的证明，1876年发表在《新英格兰教育杂志》(New England Journal of Education)上。总统先生的证明如下：

首先 ，图中的梯形面积为：

组成梯形的三个三角形的面积为：

因此就有如下等式：

即得a2＋b2＝c2 。 ?

接下来的两个证明非常简单易懂
，被认为是所有证明中最短、最简单的证明，因为从开始到结束只用了几行
。但这些证明依赖于相似三角形的概念 ，要全面展开这个概念还需要大量的基础工作
，这里就不再赘述。

证法三：

证法四：?

这一证法涉及到圆内相交弦定理：m·n＝p·q（如左图），再看AB和CD垂直的情况 ，相交弦定理仍然成立（如右图）
，因此(c－a)(c＋a)＝b2 。即得c2－a2＝b2于是，a2＋b2＝c2
。

勾股定理和测量术的来历是什么？

“数学
”的由来

古希腊人在数学中引进了名称 ，概念和自我思考，他们很早就开始猜测数学是如何产生的。虽然他们的猜测仅是匆匆记下
，但他们几乎先占有了猜想这一思考领域 。古希腊人随意记下的东西在19世纪变成了大堆文章，而在20世纪却变成了令人讨厌的陈辞滥调。 在现存的资料中 ，希罗多德（Herodotus
，公元前484－－425年）是第一个开始猜想的人
。他只谈论了几何学，他对一般的数学概念也许不熟悉 ，但对土地测量的准确意思很敏感。作为一个人类学家和一个社会历史学家
，希罗多德指出，古希腊的几何来自古埃及 ，在古埃及
，由于一年一度的洪水淹没土地，为了租税的目的 ，人们经常需要重新丈量土地；他还说：希腊人从巴比伦人那里学会了日晷仪的使用
，以及将一天分成12个时辰 。希罗多德的这一发现，受到了肯定和赞扬
。认为普通几何学有一个辉煌开端的推测是肤浅的。

柏拉图关心数学的各个方面 ，在他那充满奇妙幻想的神话故事《费德洛斯篇》中，他说：

故事发生在古埃及的洛克拉丁（区域）
，在那里住着一位老神仙，他的名字叫赛斯（Theuth） ，对于赛斯来说
，朱鹭是神鸟，他在朱鹭的帮助下发明了数 ，计算 、几何学和天文学
，还有棋类游戏等 。

柏拉图常常充满了奇怪的幻想，原因是他不知道自己是否正亚里士多德最后终于用完全概念化的语言谈论数学了 ，即谈论统一的
、有着自己发展目的的数学
。在他的《形而上学》（Meta－physics）第1卷第1章中
，亚里士多德说：数学科学或数学艺术源于古埃及，因为在古埃及有一批祭司有空闲自觉地致力于数学研究。亚里士多德所说的是否是事实还值得怀疑 ，但这并不影响亚里士多德聪慧和敏锐的观察力 。在亚里士多德的书中
，提到古埃及仅仅只是为了解决关于以下问题的争论：1．存在为知识服务的知识，纯数学就是一个最佳的例子：2．知识的发展不是由于消费者购物和奢华的需要而产生的
。亚里士多德这种“天真”的观点也许会遭到反对；但却驳不倒它 ，因为没有更令人信服的观点．

就整体来说，古希腊人企图创造两种“科学 ”的方法论
，一种是实体论，而另一种是他们的数学。亚里士多德的逻辑方法大约是介于二者之间的 ，而亚里士多德自己认为
，在一般的意义上讲他的方法无论如何只能是一种辅助方法 。古希腊的实体论带有明显的巴门尼德的“存在
”特征，也受到赫拉克利特“理性”的轻微影响 ，实体论的特征仅在以后的斯多葛派和其它希腊作品的翻译中才表现出来
。数学作为一种有效的方法论远远地超越了实体论
，但不知什么原因，数学的名字本身并不如“存在 ”和“理性
”那样响亮和受到肯定。然而 ，数学名称的产生和出现
，却反映了古希腊人某些富于创造的特性 。下面我们将说明数学这一名词的来源。

“数学”一词是来自希腊语，它意味着某种‘已学会或被理解的东西’或“已获得的知识 ” ，甚至意味着“可获的东西
”
， “可学会的东西”，即“通过学习可获得的知识 ” ，数学名称的这些意思似乎和梵文中的同根词意思相同
。甚至伟大的辞典编辑人利特雷（E．Littre 也是当时杰出的古典学者），在他编辑的法语字典（1877年）中也收入了“数学”一词。牛津英语字典没有参照梵文 。公元10世纪的拜占庭希腊字典“Suidas
”中
，引出了“物理学”、“几何学 ”和“算术
”的词条，但没有直接列出“数学”—词
。

“数学 ”一词从表示一般的知识到专门表示数学专业 ，经历一个较长的过程
，仅在亚里士多德时代，而不是在柏拉图时代 ，这一过程才完成。数学名称的专有化不仅在于其意义深远
，而在于当时古希腊只有“诗歌
”一词的专有化才能与数学名称的专有化相媲美 。“诗歌”原来的意思是“已经制造或完成的某些东西 ”，“诗歌
”一词的专有化在柏拉图时代就完成了
。而不知是什么原因辞典编辑或涉及名词专有化的知识问题从来没有提到诗歌 ，也没有提到诗歌与数学名称专有化之间奇特的相似性。但数学名称的专有化确实受到人们的注意 。

首先
，亚里士多德提出， “数学”一词的专门化使用是源于毕达哥拉斯的想法 ，但没有任何资料表明对于起源于爱奥尼亚的自然哲学有类似的思考
。其次在爱奥尼亚人中
，只有泰勒斯（公元前640？－－546年）在“纯 ”数学方面的成就是可信的，因为除了第欧根尼·拉尔修（Diogenes Laertius）简短提到外 ，这一可信性还有一个较迟的而直接的数学来源，即来源于普罗克洛斯（Proclus）对欧几里得的评注：但这一可信性不是来源于亚里士多德
，尽管他知道泰勒斯是一个“自然哲学家
”；也不是来源于早期的希罗多德，尽管他知道塞利斯是一个政治 、军事战术方面的“爱好者” ，甚至还能预报日蚀。以上这些可能有助于解释为什么在柏拉图的体系中
，几乎没有爱奥尼亚的成份 。赫拉克利特（公元前500－－？年）有一段名言：“万物都在运动中，物无常往 ” ， “人们不可能两次落进同一条河里”
。这段名言使柏拉图迷惑了
，但赫拉克赖脱却没受到柏拉图给予巴门尼德那样的尊敬。巴门尼德的实体论，从方法论的角度讲 ，比起赫拉克赖脱的变化论
，更是毕达哥拉斯数学的强有力的竞争对手 。

对于毕达哥拉斯学派来说，数学是一种“生活的方式
”。事实上 ，从公元2世纪的拉丁作家格利乌斯（Gellius）和公元3世纪的希腊哲学家波菲利（Porphyry）以及公元4世纪的希腊哲学家扬布利科斯（Iamblichus）的某些证词中看出
，似乎毕达哥拉斯学派对于成年人有一个“一般的学位课程”，其中有正式登记者和临时登记者
。临时成员称为“旁听者 ” ，正式成员称为“数学家
”。

这里“数学家”仅仅表示一类成员，而并不是他们精通数学 。毕达哥拉斯学派的精神经久不衰
。对于那些被阿基米德神奇的发明所深深吸引的人来说
，阿基米德是唯一的独特的数学家，从理论的地位讲 ，牛顿是一个数学家
，尽管他也是半个物理学家，一般公众和新闻记者宁愿把爱因斯坦看作数学家 ，尽管他完全是物理学家。当罗吉尔·培根（Roger Bacon
，1214－－1292年）通过提倡接近科学的“实体论 ”，向他所在世纪提出挑战时 ，他正将科学放进了一个数学的大框架
，尽管他在数学上的造诣是有限的，当笛卡儿（Descartes ，1596－－1650年）还很年轻时就决心有所创新
，于是他确定了“数学万能论
”的名称和概念 。然后莱布尼茨引用了非常类似的概念，并将其变成了以后产生的“符号”逻辑的基础 ，而20世纪的“符号 ”逻辑变成了热门的数理逻辑
。

在18世纪，数学史的先驱作家蒙托克莱（Montucla）说
，他已听说了关于古希腊人首先称数学为“一般知识
”，这一事实有两种解释：一种解释是 ，数学本身优于其它知识领域；而另一种解释是
，作为一般知识性的学科，数学在修辞学 ，辩证法
，语法和伦理学等等之前就结构完整了。蒙托克莱接受了第二种解释 。他不同意第一种解释，因为在普罗克洛斯关于欧几里得的评注中 ，或在任何古代资料中
，都没有发现适合这种解释的确证
。然而19世纪的语源学家却倾向于第一种解释，而20世纪的古典学者却又偏向第二种解释。但我们发现这两种解释并不矛盾 ，即很早就有了数学且数学的优越性是无与伦比的 。

中国古代最早的数学和天文学著作《周髀算经》上记载了一段周公与商高的对话
。周公问：“窃闻乎大夫善数也
，请问古者包牺立周天历度。夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度 ，请问数安从出？”商高答：“数之法出于圆方，圆出于方
，方出于矩，矩出九九八十一 ，故折矩以为勾广三
，股修四，径隅五 。既方其外 ，半之一矩
，环而共盘。得成三
、四、五，两矩共长二十有五 ，是谓积矩
。故禹之所以治天下者
，此数之所由生也。 ”这是有名的“周公问数
” 。这段对话用我们今天的话解释是这样的：周公问商高：古代时伏羲是怎样测量天文和历法的？天没有可攀的台阶，地又不能用尺去测量 ，这些数是从哪儿得出来的呢？商高回答：数是根据圆形和方形的数学道理计算出来的
。圆来自于方
，而方来自于直角三角形。直角三角形是根据乘除法的计算得出来的 。将一条线段折三段围成直角三角形，一直角边(勾)为三 ，另一直角边(股)为四，则斜边(弦)为五
。商高的证明是用右边的图来解释的。利用直角三角形三边的三 、四
、五的关系可知：方盘面积为49
，而四个阴影的三角形的面积之和为24，因此正方形BDLH的面积为49-24＝25 ，这种证明方法比欧几里得的几何原本中的证明更简明易懂 。